I. 서 론
일반적으로 마이크로폰 및 라우드 스피커 배열을 사용하는 원격 회의와 같은 응용에서는 일정폭의 관심 주파수 대역에 걸쳐 균일한 빔 폭을 갖는 빔 패턴이 요구된다.[1,2]
관심 있는 주파수 범위에 걸쳐 일정한 빔 폭을 얻기 위해 많이 쓰는 고조파 네스팅 접근법[1,3]은 적절하게 선택된 여러 개의 서브 어레이를 사용하고 각각의 출력들을 결합한다.
Frost[4]는 각 센서마다 Finite Impulse Response(FIR)필터 형식의 구조를 설치하여서 광대역 배열 빔 형성기 설계법을 소개하였다. 이 방법은 현재까지 많은 연구자들에게 기본 방법으로 채택되고 있다. 이 방법은 Lebret와 Boyd[5]에 의해서 볼록 최적화법으로 만들어졌다. Frost가 제안한 방법의 성능을 보완하기 위한 많은 방법들이 존재한다.[6,7]
그 중에서 Spatial Response Variation(SRV)[8] 제약 조건은 지향각에서 관심 있는 주파수 범위에 걸쳐 광대역 빔 형성기의 일관성을 제어하기 위해 도입되었다.
본 논문은 Lebret와 Boyd가 만든 최적화 식에 SRV을 적용하여 새로운 최적화 식을 만들고, 이로부터 최종 구현된 광대역 빔 형성기의 주 빔 특성이 더욱 향상되도록 하였다. 그리고 비교 실험을 통해서 제안한 방법으로 광대역 빔을 형성하여, SRV 도입 전 후의 광대역 빔 형성기의 주 빔 특성을 서로 비교하였다.
II. 광대역 빔형성기 배경 이론
Fig. 1과 같이 M개 센서 및 J 탭이 있는 광대역 배열에서, 빔 형성기 출력은 모든 MJ개의 가중 탭 신호의 합이다. 광대역 배열의 MJ×1 가중치 벡터 w은 다음과 같이 정의된다.
| $$w=\left[w_{1,1}\;\cdots\;w_{M,1}\;\cdots\;w_{1,J}\;\cdots\;w_{M,J}\right]^T,$$ | (1) |
여기서 위첨자 T는 전치행렬을 나타낸다. 이를 이용한 배열의 응답은 다음과 같다.
| $$G(f,\theta)=w^Hs(f,\theta),$$ | (2) |
여기서 H는 복소수 행렬의 켤레 전치를 의미한다. 는 공간 응답 벡터이고 다음과 같이 정의한다.
| $$s(f,\theta)=s_T(f)\otimes\;s_\tau(f,\theta),$$ | (3) |
여기서 는 코로네커 곱이고, sT(f)와 sτ(f,θ)는 각각 다음과 같이 정의된다.
| $$s_T(f)=\left[1,e^{-j2\pi fT_s},\cdots\;,e^{-j2\pi f(J-1)T_s}\right].$$ | (4) |
| $$s_\tau(f,\theta)=\left[e^{j2\pi f\tau_1(\theta)},e^{j2\pi f\tau_2(\theta)},\cdots\;,e^{j2\pi f\tau_M(\theta)}\right].$$ | (5) |
여기서 Ts는 시간의 샘플링 간격이다. 는 i번째 배열에 대한 전파 지연 값이다. 위와 같은 광대역 배열에서의 빔 패턴 합성은 볼록 최적화 문제로 공식화 될 수 있으며 에서 다음과 같이 표준 형식으로 정의된다.[5]
| $$\begin{array}{l}\begin{array}{c}min\\w\end{array}\left|A_s^Hw\right|^2,\;\\\mathrm s.\mathrm t.\\G(f,\theta_o)=1,f_L\leq\;f\leq\;f_U,\max\left|A_s^Hw\right|\leq\;SLL,\end{array}$$ | (6) |
여기서 Side Lobe Level(SLL)은 희망 부엽 주위 상한 값이다. fL은 배열 관심 주파수의 하한이고 fU는 배열 관심 주파수 상한을 의미한다. 는 지향각 이다. 는 부엽이 존재하기를 희망하는 모든 각도 범위에서의 공간 응답 벡터들로 이루어진 행렬이다. 즉이다. K는 희망하는 주파수 밴드 중 선택된 K개의 주파수 값을 의미한다. 또 N은 공간각 중 주 빔 폭에 해당하는 공간각을 제외한 나머지 공간각을 균등하게 나눈 값이다. 이 Eq. (6)으로 설계된 빔의 성능은 원하는 주파수 범위 내에서 비교적 일정한 빔 폭을 제공한다. 그러나 각 주파수 마다 빔 폭 변화가 존재한다. 따라서 빔 폭 변화가 좀 더 적은 방법의 도입이 필요하다.
III. 공간 응답 변화량을 적용한 광대역 빔형성 설계법
지향각에 대해서 설계 주파수대에서 빔형성기의 응답, 특히 빔 폭을 제어하기 위해서, 다음식과 같은 공간 응답 변화량(SRV)이 제안되었다.[8]
| $$SRV(\theta)=\frac1K\sum_{k=1}^K\left|w^H\left(G(f_k,\theta)-G(f_o,\theta)\right)\right|^2=w^HD(\theta)w,$$ | (7) |
여기서 K는 희망하는 주파수 밴드 중 선택된 K개의 주파수 값을 의미한다. f0은 기준 주파수이고, 는 다음과 같다.
| $$D(\theta)=\frac1K\sum_{k=1}^K\left|G(f_k,\theta)-G(f_o,\theta)\right|.$$ | (8) |
SRV의 의미는 기준 주파수에서 주 빔에 해당되는 모든 각도에서의 빔 응답과 관심 있는 모든 주파수에서 주 빔에 해당되는 모든 각도에서의 빔 응답간의 차이 에너지의 평균을 의미한다. 이는 마치 기준 주파수에서 주 빔에 해당되는 모든 각도에서의 빔 응답을 평균으로 삼았을 때의 분산과 같다. SRV은 주 빔이 존재해야만 하는 범위를 정확하게 안내하는 역할을 한다. 이는 앞 절에서 소개된 광대역 빔 형성기를 위한 식인 Eq. (6)에서 부엽이 존재하는 각도 영역과 지향각만을 지정하여 주 빔의 영역을 간접적으로 표시하는 것 보다는 훨씬 많은 정보를 최적화를 위해 제공하고 있다고 할 수 있다.
본 논문에서는 Eq. (7)과 같은 SRV을 Eq. (6)에 적용하여 목표하는 주파수 대역에서 빔의 주엽 폭 변동이 적은 광대역 빔 형성기를 설계하고자 다음과 같은 식을 제안한다.
여기서 SLL은 희망 부엽 주위 상한 값이다. 또 r은 상대 기여도로써 값의 범위는 이다. 이 값으로 빔의 부엽 수준과 빔의 주엽 분산 간에 기여도를 조절한다. fo는 기준 주파수이고, fL은 배열 사용 주파수의 하한이고 fU는 배열 사용 주파수 상한을 의미한다. 는 지향각 이다. 는 부엽이 존재하기를 희망하는 모든 각도 범위에서의 공간 응답 벡터들로 이루어진 행렬이다.
IV. 실 험
본 실험에서는 Fig. 2와 같은 선형 배열에 대해서 광대역 빔형성기를 설계한다. 특히 총 20개의 무지향성 센서를 사용한 선형 배열에 대해서 각 센서 후단에 4탭 FIR 필터를 사용한 광대역 빔 형성해 본다.
사용 주파수 상한이 사용 주파수 하한의 두 배가 되도록, fU = 2fL인 한 옥타브 대역에서 동작하고 지향각은 인 빔 형성기를 Eqs. (6)과 (9)를 사용하여 각각 설계하고 그 결과를 비교하였다. 설계 할 때에 기준 주파수는 로 하였고, 샘플링 주파수는 fU의 4배인 것으로 설정하였다. 또 Eq. (9)에서 r값을 0.1과 0.9로 설정하여 가중치의 역할도 살펴보았다. 부엽 준위 상한은 –31 dB로 설정하였다. 그리고 가능한 고른 부엽 준위를 얻기 위해서 –31 dB보다 높은 부엽 준위로부터 순차적으로 내려가면서 최적화를 반복하였다.
제안한 광대역 빔설계방법의 유용성을 보이기위해서 Reference [5]에서 소개된 Eq. (6)을 이용한 광대역 빔 형성기 설계법을 사용하여 결과를 Fig. 3에 보였다.
Fig. 3을 보면 약 –31 dB에 부준엽 준위가 형성되어 있고, 원하는 작용 주파수 대에서 주 빔이 비교적 고르게 형성되어 있음을 볼 수 있다.
다음은 본 논문이 제안한 Eq. (9)을 이용한 빔 형성기 설계 결과를 Fig. 4.에 보인다. 특히 가중치 r을 0.9로 설정하여 설계하였다.
Fig. 4를 보면 부엽 준위는 Fig. 3과 같으나 주 빔의 훨씬 더 고르게 형성되어 있음을 볼 수 있다. Fig. 3과 Fig. 4을 좀 더 자세히 비교하기 위해서 두 결과의 빔 폭을 확대하여 비교한 것을 Fig. 5에 보였다. Fig. 5(a)는 Eq. (6)을 사용하여 설계한 경우 주 빔의 –3 dB 주변을 확대한 그림이다. 이 그림을 보면 90° 보다 낮은 각도에서는 최소 84.2°부터 최대 85.8°까지 분포되어 약 1.6° 사이에 분포되어 있다. 그리고 90° 보다 높은 각도에서는 최소 94.6°부터 최대 95.8°까지 분포되어 약 1.2° 사이에 분포되어 있다. Fig. 5(b)는 Eq. (9)을 사용하여 설계한 경우 주 빔의 –3 dB 주변을 확대한 그림이다. 이 그림을 보면 90° 보다 낮은 각도에서는 최소 84.2°부터 최대 84.5°까지 분포되어 약 0.3° 사이에 분포되어 있다. 그리고 90° 보다 높은 각도에서는 최소 95.5°부터 최대 95.8°까지 분포되어 약 0.3° 사이에 분포되어 있다. 즉 제안한 방법으로 설계된 빔이 Eq. (6)의 방법으로 설계한 결과보다 훨씬 더 주 빔 폭의 변동성이 적게 형성되었음을 확인할 수 있다.
다음 Fig. 6은 주 빔의 지향각을 Fig. 5의 지향각으로 부터 20° 이동하도록 최적화한 결과를 비교한 것이다.
Fig. 6(a)는 Eq. (6)을 사용하여 설계한 경우 빔의 모양이고 Fig. 6(b)는 제안한 방법을 사용하여 설계한 경우 빔의 모양이다. 두 빔의 결과를 비교하기 위해서 Fig. 5에서와 같이 주 빔을 확대하여 각각 Fig. 6(c)와 Fig. 6(d)에 각각 나타내었다. Fig. 6(c)를 보면 110도 보다 낮은 각도에서는 최소 103.7°부터 최대 105.3°까지 분포되어 약 1.6° 사이에 분포되어 있다. 그리고 90° 보다 높은 각도에서는 최소 114.0°부터 최대 117.6°까지 분포되어 약 3.6° 사이에 분포되어 있다. Fig. 6(d)를 보면 110° 보다 낮은 각도에서는 최소 104.2°부터 최대 104.7°까지 분포되어 약 0.5° 사이에 분포되어 있다. 그리고 110° 보다 높은 각도에서는 최소 115.6°부터 최대 116.7°까지 분포되어 약 1.1° 사이에 분포되어 있다. 이 결과를 보면 지향각을 이동한 경우에도 제안한 방법으로 설계된 빔이 Eq. (6)의 방법으로 설계한 결과보다 훨씬 더 주 빔 폭의 변동성이 적게 형성되었음을 확인할 수 있다.
마지막으로 제안한 Eq. (9)으로 설계할 때 가중치 r의 영향을 보기 위해서 r을 0.1로 설정하여 설계해 보고 앞서 Fig. 4에서 r을 0.9로 설정하여 설계한 결과와 비교한 것을 Fig. 7에 보인다.
Fig. 7(c)와 Fig. 7(d)를 보면 Eq. (9)를 이용한 설계에서 가중치 r의 효과가 잘 나타난다. 즉 가중치 r이 1에 가까울수록 Eq. (9)에서 SRV에 영향을 많이 받아서 주 빔의 폭 변화가 적음을 알 수 있다. 그렇지만 Eq. (9)에서 알 수 있듯이 만약 r = 1인 경우에는 Eq. (9)의 첫째 항이 담당하는 빔의 최대 부엽 수준을 제한하는 기능이 없어져서 빔 형성에서 원하는 SLL을 얻을 수 없다. 반면에 r의 값이 적더라도 SRV을 고려하지 않은 것에 비해서 전체 설계 주파수 대역에서 훨씬 고른 주 빔 폭을 얻었다.
