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Research Article

The Journal of the Acoustical Society of Korea. 30 September 2019. 511-521
https://doi.org/10.7776/ASK.2019.38.5.511

Acoustic scattering of an obliquely incident acoustic field by a finite elastic cylindrical shell

비스듬히 입사하는 음장에 대한 유한 길이의 탄성 원통 쉘의 음향 산란
Keunhwa Lee1∗
,
Sung-Hoon Byun2
,
Sea-Moon Kim2
이 근화1∗
,
변 성훈2
,
김 시문2
1세종대학교 국방시스템공학과
2선박해양플랜트연구소
∗Corresponding Author

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ABSTRACT

In this study, we theoretically study the acoustic scattering of an obliquely incident plane wave from a finite elastic cylindrical shell. A heuristic scattering method of Ye [Z. Ye, J. Acoust. Soc. Am. 102, 877-884 (1997)] for a finite fluid cylinder is extended into a finite elastic cylindrical shell since no analytic solutions exist in the finite cylinder. The elastic cylindrical shell is modeled with the 3D elastic wave theory considering internal fluid. Using the derived analytic solution, we observe the effect of the internal fluid on the scattering field, the scattering field for the Rayleigh parameter, and the far-field scattering function for the elastic property of the cylindrical shell.

Keywords
Finite cylinder
Elastic cylindrical shell
Cylinder method
Acoustic scattering

본 연구에서는 무한 유체에 놓여있는 유한 길이의 탄성 원통 쉘에 외부에서 비스듬히 평면파가 입사할 때 발생하는 음향 산란 현상을 이론적으로 연구했다. 유한 길이의 원통 쉘에서는 해석적인 산란 해가 존재하지 않기 때문에, Kirchhoff 가정을 적용한 Ye의 산란 기법[Z. Ye, J. Acoust. Soc. Am. 102, 877-884 (1997)]을 사용했다. 탄성 원통 쉘의 특성은 3차원 탄성파 이론을 적용하여 구현했으며 원통 쉘 내부의 유체를 고려했다. 유도된 해석 해를 이용하여 내부 유체가 산란 음장에 미치는 효과, Rayleigh 변수에 대한 산란 음장, 탄성 재질의 변화에 따른 먼 거리 산란 함수를 살펴보았다.

키워드
유한 원통
탄성 원통 쉘
실린더 법
음향 산란

MAIN

  • I. 서 론

  • II. 무한 길이의 탄성 원통 쉘에서의 음향산란

  •   2.1 좌표계와 입사파

  •   2.2 외부 유체의 음장

  •   2.3 원통 쉘 내부 유체의 음장

  •   2.4 탄성 원통 쉘에서 탄성파의 장

  •   2.5 경계 조건

  • III. Ye의 원통법의 적용

  • IV. 수치 예제

  • V. 결 론

I. 서 론

인공적인 수중 운동체에서 발생하는 음향 산란현상은 매우 복잡하기 때문에 수신된 산란 신호만으로로 산란체의 물리적인 특성을 해석하는 것은 특수한 경우를 제외하고는 불가능하다.

그렇기 때문에 대부분의 연구자들은 연구 방법론적으로 기본적인 입체도형에서의 산란현상에 대한 이해를 통해 보다 복잡한 산란체에서의 산란현상을 분석하는 방식을 취한다.[1]

우리는 기본적인 입체도형 중의 하나인 원통에서의 음향 산란 현상을 연구했다. 수중에서 활동하는 생물이나 인공적인 운동체들은 축대칭의 형상을 가진 것들이 많다.[2], [3], [4] 축대칭의 형상은 여러 원통들로 이루어진 복합체로 생각할 수 있기 때문에, 원통에서의 산란현상에 대한 이해는 수중에서의 산란현상을 이해하는데 필수적이라 할 수 있다.

일반적으로 무한 길이의 원통에 대해서는 모드 해나 적분방정식으로 표현되는 해석적인 해가 존재한다.[5], [6], [7], [8], [9], [10], [11] 하지만 유한 길이의 원통에 대해서는 해석적인 해가 존재하지 않는다.[12], [13], [14] 1988년 Stanton[2], [3]은 유한 원통에서의 산란을 동일한 길이에서 ‘단위 길이 당 점 음원’이 분포해서 발생하는 방사 현상으로 치환하여 해석하는 방법(Stanton의 원통법)을 제안했다. 만약에 원통의 길이가 무한대라면, Stanton이 제안한 해는 무한 원통에 대한 산란해와 동일해져야 하는데, 이 조건을 이용하여 Stanton은 점 음원의 크기를 결정했다.

1996년 Ye[14]는 Kirchhoff 가정과 Green 정리를 이용하여 유한한 길이를 갖는 유체 원통에 대해서 Stanton의 원통법을 일반화했다. Stanton의 원통법은 입사파가 원통의 길이 방향에 수직으로 입사하는 경우를 가정했지만, Ye의 원통법은 비스듬히 입사하는 음장에 대해서도 적용가능하다.

본 연구에서는 Ye의 원통법을 유한 길이의 탄성 원통 쉘에 대해 적용했다. 탄성 원통 쉘은 탄성을 가지고 있는 고체로 일반적인 원통과 다르게, 속이 비어있거나 내부 유체로 차 있는 것을 말한다. 본 연구에서 탄성 원통 쉘에서의 산란 음장은 3차원 등방성 탄성 이론을 이용하여 계산했다.

본 연구에서 탄성 쉘을 계산할 때 사용한 방법은 기본적으로 Leon et al.[11]의 1992년 연구와 동일하다. 다만 Leon et al.은 입사파의 진행방향이 x-z 평면에 놓여있다고 가정을 하고 탄성 원통 쉘에 대한 해를 구했으나, 본 연구에서는 입사파의 진행방향에 대한 특별한 가정을 하지 않았다. 또한 Leon et al.의 해는 전산자원이 부족했던 90년대의 연구이기 때문에 Bessel 함수와 변형 Bessel 함수를 구분하여 복잡하게 서술되어 있으나, 본 연구에서는 단순화하여 새롭게 기술했다. 따로 논문에 기술하지는 않았지만 본 논문에서 구현한 탄성 원통 쉘에 대한 알고리즘은 Leon et al.의 논문에 나온 예제와 동일한 결과를 준다는 것을 확인했다. 한편 국내에서도 Roh et al.[15]에 의한 탄성 원통 쉘에 대한 연구가 존재한다. 하지만 이 연구는 Doolittle과 Überall의 결과[8]를 사용한 것으로 비스듬히 입사하는 입사파를 고려하지 못했다는 한계가 있다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. II장에서는 무한한 길이의 탄성 원통 쉘에 대한 산란 해를 구하는 과정을 기술했으며, III장에서는 Ye의 원통법을 탄성 원통 쉘에 적용했다. IV는 결론 및 토론이다. 부록에서는 탄성 원통 쉘에 대한 산란 해의 행렬 방정식을 제공한다.

II. 무한 길이의 탄성 원통 쉘에서의 음향산란

2.1 좌표계와 입사파

Fig. 1과 같은 좌표계를 생각한다. 입사파의 방향은 구면 좌표계의 방위각과 고각을 이용하여 (θ0,α)로 설정한다. 여기서 θ0는 0≤θ0≤2π이고, -π/2≤α≤π/2로 정의된다. 참고로 입사고각α는 xy평면에서 아랫방향을 +값으로 설정했다. 산란파의 방향은 구면좌표계에서 (θ,ϕ)로 설정했다. 산란고각 ϕ의 방향은 xy평면에서 위 방향을 +값으로 설정했다. 원통의 중심은 원점에 놓여있고 원통의 길이 방향은 z축과 평행하다고 가정한다.

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Fig. 1.

Coordinate system for cylindrical scatterer.

이때 산란체로 입사하는 평면파는 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{array}{l}p_i=e^{j\overrightarrow k\bullet\overrightarrow r}\\\;\;\;=e^{jk_0\lbrack-\cos\alpha\cos\theta_0,-\cos\alpha\;\sin\theta_0,\;\sin\alpha\rbrack\bullet\lbrack r\;\cos\theta,\;r\;\sin\theta,\;z\rbrack}\\\;\;\;=e^{jk_0z\;\sin\alpha}\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n(-j)^nJ_n(k_0r\;\cos\alpha)\cos\lbrack n(\theta-\theta_0)\rbrack,\end{array}$$ (1)

여기서 연산자∙는 내적을 나타낸다. k→는 평면파의 방향을 나타내는 방향벡터이며, 그 크기는 탄성 원통 쉘을 둘러싸고 있는 외부 유체의 파수 k0와 같다. r→은 공간의 점을 나타내는 위치벡터이다. 각각의 벡터는 구면좌표계를 이용해 정리를 했다. 한편, ϵn은 n = 0일 때 2이고, n > 0에서는 1로 정의된다. Jn 제 1종 Bessel 함수이다.

2.2 외부 유체의 음장

외부의 유체에서의 음향 산란은 Helmholtz 방정식을 만족한다. 무한 실린더에 의해 형성되는 산란 음장에 대해서는 변수분리법을 적용할 수 있으므로, Helmholtz 방정식을 원통의 반지름 방향, 길이 방향, 방위각 방향에 대한 2차 상미분 방정식으로 각각 분리할 수 있다. 이 중에 반지름 방향에 대해서는 거리가 증가하는 방향으로 전파하는 파만 존재한다고 생각할 수 있으므로 방정식의 해는 제 1종 Hankel 함수로 나타난다. 길이 방향에 대해서는 평면 입사파의 길이 방향 성분과 동일한 방향의 전달 파가 나타나므로 지수함수로 표현할 수 있다. 방위각 방향에 대해서는 닫힌 경계조건이 되므로 모드 해가 나타난다. 그러나 θ=θ0를 중심으로 좌우 대칭의 형태로 산란음장이 발생할 것이므로 모드 해는 코사인 함수를 이용하여 전개할 수 있다. 위의 해를 이용하면, 외부 유체의 산란 음장은 Fig. 1에서 원통좌표계를 이용해 아래와 같은 모드 해로 표현가능하다.

$$p_s=e^{jk_0z\;\sin\alpha}\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n(-j)^na_nH_n^{(1)}(k_0r\;\cos\alpha)\cos\lbrack n(\theta-\theta_0)\rbrack,$$ (2)

여기서 an은 미지수이다.

2.3 원통 쉘 내부 유체의 음장

탄성 원통 쉘 내부 유체에서의 음장도 2.1절과 동일하게 Helmholtz 방정식을 만족한다. 다만 내부 유체의 반지름 방향에 대해서는 2개의 서로 직교하는 해가 존재하는데 이중에 2종 Bessel 함수는 원의 중심에서 무한대가 되는 성질이 있어서 해가 될 수 없다. 결국 반지름 방향의 해는 1종 Bessel 함수로 표현될 수 있다. 이를 이용하면 내부의 유체의 음장에 대한 모드 해는 다음과 같이 표현된다.

$$p_I=e^{jk_zz}\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n(-j)^nh_nJ_n(k_Ir\;\cos\alpha)\cos\lbrack n(\theta-\theta_0)\rbrack,$$ (3)

여기서kI2=(ω/cI)2-(k0sinα)2으로 표현되며 ω는 음파의 각주파수이고, cI는 내부 유체의 음속이다. kz=k0sinα로 정의했다. hn은 미지수이다.

2.4 탄성 원통 쉘에서 탄성파의 장

등방성의 탄성 쉘에서의 파장(wave field)은 아래와 같이 텐서를 이용해 표현한 탄성파 방정식에 의해 설명할 수 있다.

$$\mu u _{i,jj} +( \lambda + \mu )u _{j,ji} =- \rho \omega ^{2} u _{i} ,$$ (4)

여기서 λ와 μ는 탄성 매질의 Lame 계수이며 u는 탄성 매질의 변위 벡터를 의미한다. ρ는 탄성 매질의 밀도이다.

Helmholtz 분해에 따라 압축 길이 포텐셜 ϕp와 전단 길이 포텐셜 ψ→를 이용해 u→=∇ϕp+∇×ψ→라고 놓고, Eq. (4)를 분해를 하면 다음과 같이 표현된다.

$$\nabla^2\phi_p+(\omega^2/c_L^2)\phi_p=0,$$ (5)
$$\nabla^2\overrightarrow\psi+(\omega^2/c_T^2)\overrightarrow\psi=0,$$ (6)

여기서 ∇2는 라플라시안 연산자이다. 포텐셜 표현식에서 ∇ϕp와 ∇×ψ→에서의 ∇은 각각 gradient와 curl 연산자를 나타낸다. 또한, cL=(λ+2μ)/ρ로 p파의 속도이고, cT=μ/ρ로 s파의 속도이다.

원통 좌표계에서 압축 길이 포텐셜에 대한 식을 정리하면 다음과 같다.

$$\frac{1} {r} \frac{\partial } {\partial r} ( r\frac {\partial \phi _{p}} {\partial r} ) + \frac{1} {r ^{2}} \frac{\partial ^{2} \phi _{p}} {\partial \theta ^{2}} + \frac{\partial ^{2} \phi _{p}} {\partial z ^{2}} +k _{L}^{2} \phi _{p} =0,$$ (7)

여기서 kL=ω/cL이다.

한편 ψ→=ψre→r+ψθe→θ+ψze→z라고 할 때, 전단 길이 포텐셜은 각각 다음과 같이 정리된다.

$$\begin{array}{l}\nabla^2\psi_r-\frac{\psi_r}{r^2}-\frac2{r^2}\frac{\partial\psi_\theta}{\partial\theta}+k_T^2\psi_r=0\\\nabla^2\psi_\theta-\frac{\psi_\theta}{r^2}+\frac2{r^2}\frac{\partial\psi_r}{\partial\theta}+k_T^2\psi_\theta=0\\\nabla^2\psi_z+k_T^2\psi_z=0,\end{array}$$ (8)

여기서 kT=ω/cT이다. 원통 좌표계(거리, 방위각, 깊이)에서 각 방향의 변위를 u,v,w라 할 때, 각각의 변위는 포텐셜과 아래와 같은 관계가 있다.

$$\begin{array}{l}u=\frac{\partial\phi_p}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial\psi_z}{\partial\theta}-\frac{\partial\psi_\theta}{\partial z}\\v=\frac1r\frac{\partial\phi_p}{\partial\theta}+\frac{\partial\psi_r}{\partial z}-\frac{\partial\psi_z}{\partial r}\\w=\frac{\partial\phi_p}{\partial z}+\frac1r\frac{\partial(\psi_\theta r)}{\partial r}-\frac1r\frac{\partial\psi_r}{\partial\theta}.\end{array}$$ (9)

만약에 평면 입사파가 원통의 길이 방향에 수직하게 입사한다면 생성되는 산란 변위도 θ=θ0를 중심으로 서로 좌우 대칭이어야 할 것이다. 또한 각각의 변위는 z축에 대해 독립적이어야 할 것이다. 이 경우에 3차원 해석은 ‘xy평면의 원 산란체에 평면파가 입사하는 경우의 2차원 해석’과 동일할 것이다. 그렇기 때문에 ψθ와 ψr의 값은 산란 변위에 영향을 주지 못한다. 하지만 평면 입사파가 비스듬히 입사하는 경우에는 위의 두 개의 전단 길이 포텐셜은 사라지지 않는다. 이 두 개의 전단 길이 포텔셜은 Eq. (8)에서 보듯이 서로 연성되어 있기 때문에 동일한 구조의 해를 가진다. 또한 모든 포텐셜들은 해석 대상이 무한 원통 쉘이기 때문에 원통의 횡 방향으로 두 개의 기본 해가 존재하며, 원주 방향으로는 대칭 조건을 만족해야하며, z방향으로는 전달 파의 구조를 가져야한다. 이 조건들을 모두 고려하여 Eqs. (7)과 (8)의 모드 해를 정리하면 아래와 같다.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\phi_p=\frac1{\rho_2\omega^2}e^{jk_zz}\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n(-j)^n\lbrack b_nJ_n^{}(k_cr)+c_nN_n^{}(k_cr)\rbrack\cos\lbrack n(\theta-\theta_0)\rbrack\\\psi_r=\frac1{\rho_2\omega^2}e^{jk_zz}\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n(-j)^n\lbrack d_nJ_{n+1}^{}(k_sr)+e_nN_{n+1}^{}(k_sr)\rbrack\sin\lbrack n(\theta-\theta_0)\rbrack\\\psi_\theta=\frac1{\rho_2\omega^2}e^{jk_zz}\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n(-j)^n\lbrack-d_nJ_{n+1}^{}(k_sr)-e_nN_{n+1}^{}(k_sr)\rbrack\cos\lbrack n(\theta-\theta_0)\rbrack\end{array}\\\psi_z=\frac1{\rho_2\omega^2}e^{jk_zz}\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n(-j)^n\lbrack f_nJ_n^{}(k_sr)+g_nN_n^{}(k_sr)\rbrack\sin\lbrack n(\theta-\theta_0)\rbrack,\end{array}$$ (10)

여기서 kc=(ω/cL)2-kz2이고, ks=(ω/cT)2-kz2이다. bn~gn은 미지수이다. Nn은 제 2종 Bessel 함수이다. ρ2는 쉘의 밀도를 의미한다.

한편 원통 좌표계에서 응력-변형률 관계식은 다음과 같이 표현할 수 있다.[16]

$$\begin{array}{l}\epsilon_r=\frac{\partial u}{\partial r},\epsilon_\theta=\frac ur+\frac1r\frac{\partial v}{\partial\theta},\epsilon_z=\frac{\partial w}{\partial z}\\2\epsilon_{r\theta}=2\epsilon_{\theta r}=\frac{\partial v}{\partial r}-\frac vr+\frac1r\frac{\partial u}{\partial\theta}\\2\epsilon_{z\theta}=2\epsilon_{\theta z}=\frac1r\frac{\partial w}{\partial\theta}+\frac{\partial v}{\partial z}\\2\epsilon_{zr}=2\epsilon_{rz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial r},\end{array}$$ (11)
$$\begin{array}{l}\tau_r=\lambda\triangle+2\mu\frac{\partial u}{\partial r}\\\tau_\theta=\lambda\triangle+2\mu(\frac ur+\frac1r\frac{\partial v}{\partial\theta})\\\tau_z=\lambda\triangle+2\mu\frac{\partial w}{\partial z},\tau_{r\theta}=\mu(\frac{\partial v}{\partial r}-\frac vr+\frac1r\frac{\partial u}{\partial\theta})\\\tau_{z\theta}=\mu(\frac1r\frac{\partial w}{\partial\theta}+\frac{\partial v}{\partial z}),\tau_{zr}=\mu(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial r}),\end{array}$$ (12)

여기서 ∆=ϵr+ϵθ+ϵz=∂u∂r+ur+1r∂v∂θ+∂w∂z으로 부피 변형률을 나타낸다.

2.5 경계 조건

위의 Eqs. (2), (3), (10)의 8개의 미지수를 구하기 위해 각 경계에서 Table 1과 같은 경계조건을 적용할 수 있다. Table 1의 첫 번째 열은 두 개의 매질의 종류를 나타낸다. 예를 들어 fluid/fluid는 상부 반무한 유체와 하부 반무한 유체로 구성되는 경계를 의미한다. 첫 번째 줄은 경계 조건에서 물리량을 나타낸다. 왼쪽부터 순서대로, 원통 좌표계에서 거리, 방위각, 깊이 방향의 변위와 세 가지 응력들을 나타낸다.

Table 1. Boundary conditions between two media.

uvwτrτrθτzr
fluid/fluid = none none = none none
fluid/solid = none none = 0 0
solid/solid = = = = = =
vacuum/solid none none none 0 0 0
fluid/rigid 0 none none none none none
solid/rigid 0 0 0 none none none

Table 1에서 ‘=’는 경계면에서 해당하는 물리량이 연속조건을 만족한다는 의미이며, ‘none’은 연속조건이 성립하지 않는다는 것이며, ‘0’은 해당 물리량의 값이 0이라는 것을 의미한다.

내부 유체가 있는 탄성 쉘은 외부유체/탄성체, 탄성체/내부유체에서 각각 4개의 조건이 성립되기 때문에, 8개의 방정식을 만들 수 있다. 이 방정식으로부터 8개의 미지수의 값을 계산할 수 있다.

한편, 모드 해의 경계조건에서 만들어지는 행렬식은 항상 안정적인 것은 아니다. 입력 값이 허수일 때 Bessel 함수는 지수적으로 증가한다는 것은 잘 알려져 있다. 또한 2종 Bessel 함수는 입력 값이 0에 가깝거나 n이 무한대일 때 특이 값을 갖는다.

또한 입사파의 입사 각도에 따라서도 행렬식은 불안정해질 수 있다. 본 연구에서 작성된 코드는 MATLAB환경에서 제작되었다. 탄성 원통 쉘의 외부 반지름을 a라고 할 때, k0a<20에서는 안정적인 해를 산출하는 것을 확인했다. 그 이상에서는 경우에 따라 행렬의 역행렬을 구하는 것이 불가능한 상황도 발생했다. 이와 같은 오류를 최소화하기 위해서는Bessel 함수들의 scaling과 행렬식의 변형이 필요하나,[17], [18] 본 연구에서는 이에 대한 연구는 수행하지 않았다.

참고로 부록에서는 Table 1의 경계조건에서 얻어진 행렬식을 수록했다. Leon 등의 표기법을 따라 경계조건에서 나타나는 Bessel 함수의 도함수들은 Bessel 함수의 회귀 식을 이용하여 높은 차수의 Bessel 함수로 치환했다. Leon 등의 식과 다른 점은 Bessel 함수와 변형 Bessel 함수를 구분하지 않고 단순하게 표현했다는 것이다.

III. Ye의 원통법의 적용

Ye는 Green 정리를 이용하여 Fig. 2와 같은 벡터 좌표계에 대해 ‘임의의 형상의 유체 매질의 산란체’에 대해 아래와 같은 ‘먼 거리 산란 함수’의 식을 유도했다.[14]

$$f=-\frac1{4\pi}\int\int_S^{}{\lbrack\nabla_{r'}p_s(\overrightarrow{r'})+jk_0\frac{\overrightarrow r}rp_s(\overrightarrow{r'})\rbrack\bullet\overrightarrow n}e^{-jk_0\frac{\overrightarrow{r'}\bullet\overrightarrow r}r}ds',$$ (13)

여기서 n→은 산란체 표면에서의 외부방향으로의 정규벡터이며, ds'는 산란체 표면의 미소면적을 나타낸다.

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Fig. 2.

Coordinate system for far-field scattering function.

Eq. (13)에서 이중 적분은 산란체의 표면에 대한 적분이다. Eq. (13)의 값을 구하기 위해서는 산란체의 표면에서 산란 음장을 알아야 한다.

즉 Eq. (13)을 이용하여 ‘유한 길이의 유체 원통’의 먼 거리 산란함수를 구하기 위해서는 ‘유한 유체 원통’의 산란 음장을 알아야 한다는 모순적인 상황이 발생한다. Ye는 ‘무한 길이의 유체 원통’의 해석해에 Kirchhoff 가정을 도입하여 위의 어려움을 극복했다. Kirchhoff 가정을 통해서 유한 길이에 해당하는 부분의 음장은 ‘무한 길이의 유체 원통의 해석해’와 동일하다고 가정하고 그 이외의 영역은 0으로 생각했다. 본 연구에서는 유한 유체 원통에 대한 Ye의 방법과 동일하게, 탄성 원통 쉘에 Ye의 방법을 도입했다.

길이 L의 탄성 원통 쉘이 길이 방향으로 [-L/2, L/2]에 놓여 있다고 할 때, 해당 영역에서의 탄성 원통 쉘 표면에서의 음장은 Eq. (2)와 동일하다고 생각하고, 그 이외의 음장은 0이라고 생각한다. 이때 원통의 길이 방향에 대해 Eq. (13)을 적분을 하면 아래와 같이 정리가 된다. 이때 적분은 구면좌표계에서 수행되었다.

$$\begin{array}{l}f(\phi,\theta;\alpha,\theta_0)=\frac{-jL}\pi\mathrm{sinc}\lbrack k_0L(\sin\alpha-\cos\phi)/2\rbrack\\\times\sum_{n=0}^\infty\epsilon_na_n(-1)^n\cos\lbrack n(\theta-\theta_0)\rbrack Q_n(\alpha,\phi),\end{array}$$ (14)

여기서 sinc(x)=sin(x)/x로 정의되며,

$$\begin{array}{l}Q_n\left(\alpha,\phi\right)=\frac{\mathrm\pi}{2j}\lbrack ka\;\cos\alpha H_n^{\left(1\right)'}\left(ka\;\cos\alpha\right)J_n\left(ka\;\sin\phi\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-ka\;\sin\phi H_n^{\left(1\right)}\left(ka\;\cos\alpha\right)J'_n(ka\;\sin\phi)\rbrack.\end{array}$$ (15)

한편, Stanton의 원통법은 위의 Eq. (15)에 ϕ=α+π/2를 넣어서 얻을 수 있다. 이때 Wronskian 항등식에 의해 Eq. (15)는 Qn(α,ϕ)=1이 된다.

한편, 무한 길이 탄성 원통의 산란 특성은 아래의 무한 길이 탄성 원통에 대한 먼 거리 산란 함수로 주어진다.

$$\begin{array}{l}\vert f_\infty(\theta)\vert=(\frac{2r}a)^{1/2}\vert\frac{p_s}{p_i}\vert_{r->\infty}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac2{\sqrt{\pi k_0\;a\cos\alpha}}\vert\sum_{n=0}^\infty\epsilon_na_n(-1)^n\vert.\end{array}$$ (16)

IV. 수치 예제

본 절에서는 ‘유한 길이의 탄성 원통 쉘’의 음향 산란 특성을 분석하기 위해 세 개의 수치 실험을 수행했다. 수치 실험에 사용한 탄성 원통 쉘과 유체의 재질은 Table 2에 정리했다.

Table 2. Material properties.

Medium ρ(kg/m3)cL(m/s)cT(m/s)
Water 1000 1493 0
Aluminum 2790 6380 3100
Brass 8500 4284 2142
Stainless steel 7570 5675 3141
Air 1.2 330 0

첫 번째는 ‘무한 길이의 탄성 원통 쉘’과 ‘무한 길이의 탄성 원통’의 특성을 비교했다. Fig. 3에서는 입사파가 수직으로 입사할 때 Rayleigh 값인 k0a의 값에 따라 무한 길이의 탄성 원통 쉘과 무한 길이의 탄성 원통의 산란 특성을 비교했다.

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Fig. 3.

Scattering pattern for the elastic cylindrical shells with the thickness-radius ratio of 0.05. and the elastic cylinder.

탄성체는 brass를 사용했다. 탄성 원통 쉘은 ‘두께 및 외부 반지름의 비’가 0.05를 사용했다. 0도인 경우가 후방 산란이며, 180도가 전방산란에 해당한다.

Fig. 3에서 보면 동일한 외부 반지름을 가졌어도 원통 쉘과 원통의 산란 특성 차이가 큰 것을 확인할 수 있다. 특히 낮은 Rayleigh 값에서 차이가 컸다. 그리고 낮은 Rayleigh 값에서는 탄성 원통 쉘의 내부 유체가 공기인 경우는 전방 산란의 값이 상대적으로 컸으며, 물인 경우는 후방 산란의 값이 상대적으로 큰 것을 알 수 있다. 높은 Rayleigh 값에서는 내부 유체의 효과는 작아지는 것을 볼 수 있다.

Fig. 4는 Fig. 3과 외부 지름은 같으나 두께가 두꺼운 탄성 원통 쉘에 대한 결과를 보여준다. ‘두께 및 외부 반지름의 비’는 0.15를 사용했다. 쉘의 두께가 두꺼워짐에 따라 내부 유체의 효과는 얇은 경우보다 줄어드는 것을 볼 수 있다.

http://static.apub.kr/journalsite/sites/ask/2019-038-05/N0660380503/images/ASK_38_05_03_F4.jpg
Fig. 4.

Scattering pattern for the elastic cylindrical shells with the thickness-radius ratio of 0.15 and the elastic cylinder.

특히 Fig. 3에서 낮은 Rayleigh 값의 공기로 채워진 탄성 쉘에서 발생했던 강한 전방산란이 Fig. 4에서는 감소하는 것을 확인할 수 있다. 후방 산란의 값은 대부분의 영역에서 내부가 물로 차 있는 경우가 더 크나, 얇은 쉘보다는 그 차이가 작다.

두 번째 예제에서는 Eq. (14)를 이용해 ‘유한 길이의 탄성 원통 쉘’과 ‘유한 길이 탄성 원통’, ‘유한 길이 강체 원통’의 특성을 분석했다. 이때 원통의 길이는 0.1m로 모든 예제에서 동일하게 생각했다.

Fig. 5는 입사파가 원통에 수직으로 입사할 때(α=0°) 원통 쉘의 산란 고각에 따른 표적 강도를 도시한 것이다. 표적 강도는 20log10|f|으로 계산된다. 탄성 매질은 aluminum이고, k0a=3를 사용했다. 이 그림에서 0~180도의 산란 고각은 후방 산란에 해당되며, 180~360도의 산란 고각은 전방 산란에 해당된다. 앞의 예제에서 관찰한 것과 마찬가지로 후방 산란에서는 물이 찬 탄성 쉘의 표적 강도가 높고, 전방 산란에서는 공기가 찬 탄성 쉘의 표적 강도가 높은 것을 볼 수 있다. 또한, 유한 길이의 원통의 효과가 반영되었기 때문에 산란 고각에 대해 명확한 간섭패턴이 나타나는 것을 확인할 수 있다. 각각의 원통의 재질에 따라 큰 차이가 발생하는 영역은 산란 고각이 원통의 길이방향에 위치해 있을 때이다(0도, 180도 및 360도 근처).

http://static.apub.kr/journalsite/sites/ask/2019-038-05/N0660380503/images/ASK_38_05_03_F5.jpg
Fig. 5.

Target strength for the scattering elevation angle (k0a=3). Here, ‘TS’ stands for the target strength.

참고로 Fig. 5와 같은 간섭패턴은 본 논문의 연구 대상인 양 끝이 뚫려있는 유한 길이의 원통(또는 원통 쉘)에서만 나타나는 것을 강조한다. 예를 들어 통조림통처럼 원통의 양쪽 끝이 막혀 있는 원통의 경우에는 끝단의 형상이 달라지기 때문에 다른 패턴이 관찰될 것이다.

Fig. 6에서는 비스듬한 입사각에 따른 ‘유한 길이 탄성 원통 쉘’의 산란 고각에 따른 표적 강도를 도시했다. 결과를 명확하게 보이기 위해 k0a=5로 설정했다. 입사파의 고각은 각각 α=0°(수직 입사), 20°, 40°로 설정했다. 산란 고각의 부호는 Fig. 5와 동일하다. Fig. 6에서 보면 입사파의 고각에 따라 정반사가 발생하는 산란 고각(ϕ=π2-α)이 달라지는 것을 볼 수 있다.

http://static.apub.kr/journalsite/sites/ask/2019-038-05/N0660380503/images/ASK_38_05_03_F6.jpg
Fig. 6.

Target strength from aluminum shell as a function of the scattering elevation angle in case of three incident elevation angles (k0a=5). Here, ‘TS’ stands for the target strength.

Fig. 6에서 재미있는 것은 입사 고각이 0도인 경우보다, 입사고각이 20도인 경우에 정반사되는 영역에서의 표적 강도가 커진다는 것이다. 이러한 경향은 언제나 관찰되는 것이 아니라, 탄성 재질에 따라 달라진다. 이것은 입사각과 산란각에 따라 산란되는 에너지가 탄성 재질에 의존하기 때문이다. 고주파 근사의 관점에서 설명하자면 유체/탄성체의 평면파 반사계수가 각도에 따라 달라지기 때문으로 설명할 수 있다.

참고로 Fig. 7은 Fig. 6과 동일한 조건에서 stainless steel에서 실험한 결과이다. 절대적인 표적 강도의 크기와 산란 패턴이 바뀌는 것을 확인할 수 있다.

http://static.apub.kr/journalsite/sites/ask/2019-038-05/N0660380503/images/ASK_38_05_03_F7.jpg
Fig. 7.

Target strength from stainless steel shell as a function of the scattering elevation angle in case of three incident elevation angles (k0a=5). Here, ‘TS’ stands for the target strength.

V. 결 론

본 연구에서는 유한한 길이의 탄성 원통 쉘에서의 산란 현상을 다뤘다. Ye의 원통법을 탄성 원통 쉘에 적용하여, 내부 유체의 효과, Rayleigh 값에 대한 변화, 탄성 재질의 변화에 따른 먼 거리 산란 함수의 경향을 입사각과 산란각의 관점에서 살펴보았다.

첫 번째로 무한길이의 탄성 원통 쉘의 산란 특성을 살펴보았다. 후방산란의 경우에는 내부유체가 물인 경우가 공기일 때보다 후방산란파의 크기가 큰 경향이 나타났다. 두꺼운 쉘에서는 공기인 경우와 물의 경우에 후방산란크기의 차이는 줄어들었다. 주파수가 증가할수록 내부유체의 효과는 줄어들며 탄성 원통 쉘의 산란 패턴의 모양은 탄성 원통의 산란 패턴과 비슷해진다.

두 번째는 유한 길이의 탄성 원통 쉘에 대해 수치실험을 수행했다. 유한 길이에 의한 간섭패턴은 산란고각이 원통의 길이방향에 가까울수록 분명하게 나타난다. 후방산란영역이나 전방산란영역에서의 표적 강도는 탄성 매질의 재질에 따라 달라지는 것을 확인했다.

향후에는 실험적 연구를 통해 유한 길이의 원통의 양 끝단에서 나타나는 산란 음장의 효과 및 닫힌 유한 길이의 원통의 산란 특성을 측정하고 해석할 것이다.

Acknowledgements

본 논문은 ‘중주파수 대역의 배열 센서를 이용하는 장거리 수중음향 원격 탐사 핵심기술 개발(선박해양플랜트연구소)’의 위탁과제로 수행되었음.

부 록

외부 유체와 내부 유체로 둘러싸인 탄성 쉘에 대해 경계조건을 적용하면 8×8의 행렬식이 나온다. 이 행렬식을 Mx=c라고 표현할 때 각각의 행렬요소들은 다음과 같다.

참고로 c=[an,bn,cn,dn,en,fn,gn,hn]T로 정의된다. 또한 아래의 식에서 사용된 xi는 무차원수로써 일반적으로 xi=rki로 정의가 되며, xz만 xz=r(jkz)로 표현된다.

<Normal displacement at the outer radius r = a>

$$\begin{array}{l}c(1)=\frac{\rho_2}{\rho_F}\lbrack nJ_n(x_F)-x_FJ_{n+1}(x_F)\rbrack\\M(1,1)=-\frac{\rho_2}{\rho_F}\lbrack nH_n^{(1)}(x_F)-x_FH_{n+1}^{(1)}(x_F)\rbrack\\M(1,2)=nJ_n(x_c)-x_cJ_{n+1}(x_c)\\M(1,3)=nN_n(x_c)-x_cN_{n+1}(x_c)\\M(1,4)=x_zJ_{n+1}(x_s),\;M(1,5)=x_zN_{n+1}(x_s)\\M(1,6)=nJ_n(x_s),\;M(1,7)=nN_n(x_s),\;M(1,8)=0\end{array}$$

<Normal displacement at the inner radius r = b>

$$\begin{array}{l}c(2)=0\\M(2,1)=0\\M(2,2)=nJ_n(x_c)-x_cJ_{n+1}(x_c)\\M(2,3)=nN_n(x_c)-x_cN_{n+1}(x_c)\\M(2,4)=x_zJ_{n+1}(x_s),\;M(2,5)=x_zN_{n+1}(x_s)\\M(2,6)=nJ_n(x_s),\;M(2,7)=nN_n(x_s)\\M(2,8)=-\frac{\rho_2}{\rho_I}\lbrack nJ_n(x_I)-x_IJ_{n+1}(x_I)\rbrack\end{array}$$

<Normal stress at the inner radius r = a>

$$\begin{array}{l}c(3)=-\rho_2c_0^2x_0^2J_n(x_F)\\M(3,1)=\rho_2c_0^2x_0^2H_n^{(1)}(x_F)\\M(3,2)=-\lambda x_L^2J_n(x_c)+2\mu\lbrack(n^2-x_c^2-n)J_n(x_c)+x_cJ_{n+1}(x_c)\rbrack\\M(3,3)=-\lambda x_L^2N_n(x_c)+2\mu\lbrack(n^2-x_c^2-n)N_n(x_c)+x_cN_{n+1}(x_c)\rbrack\\M(3,4)=2\mu x_z\lbrack-(n+1)J_{n+1}(x_s)+x_sJ_n(x_s)\rbrack\\M(3,5)=2\mu x_z\lbrack-(n+1)N_{n+1}(x_s)+x_sN_n(x_s)\rbrack\\M(3,6)=2\mu n\lbrack(n-1)J_n(x_s)-x_sJ_{n+1}(x_s)\rbrack\\M(3,7)=2\mu n\lbrack(n-1)N_n(x_s)-x_sN_{n+1}(x_s)\rbrack\\M(3,8)=0\end{array}$$

<Normal stress at the inner radius r = b>

$$\begin{array}{l}c(4)=0\\M(4,1)=0\\M(4,2)=-\lambda x_L^2J_n(x_c)+2\mu\lbrack(n^2-x_c^2-n)J_n(x_c)+x_cJ_{n+1}(x_c)\rbrack\\M(4,3)=-\lambda x_L^2N_n(x_c)+2\mu\lbrack(n^2-x_c^2-n)N_n(x_c)+x_cN_{n+1}(x_c)\rbrack\\M(4,4)=2\mu x_z\lbrack-(n+1)J_{n+1}(x_s)+x_sJ_n(x_s)\rbrack\\M(4,5)=2\mu x_z\lbrack-(n+1)N_{n+1}(x_s)+x_sN_n(x_s)\rbrack\\M(4,6)=2\mu n\lbrack(n-1)J_n(x_s)-x_sJ_{n+1}(x_s)\rbrack\\M(4,7)=2\mu n\lbrack(n-1)N_n(x_s)-x_sN_{n+1}(x_s)\rbrack\\M(4,8)=\rho_2c_n^2x_n^2J_n(x_I)\end{array}$$

<Shear stress for θ direction at the outer radius r = a>

$$\begin{array}{l}c(5)=0\\M(5,1)=0\\M(5,2)=2n\lbrack(1-n)J_n(x_c)+x_cJ_{n+1}(x_c)\rbrack,\\M(5,3)=2n\lbrack(1-n)N_n(x_c)+x_cN_{n+1}(x_c)\rbrack\\M(5,4)=x_z\lbrack-2(n+1)J_{n+1}(x_s)+x_sJ_n(x_s)\rbrack\\M(5,5)=x_z\lbrack-2(n+1)N_{n+1}(x_s)+x_sN_n(x_s)\rbrack\\M(5,6)=(-2n^2+x_s^2+2n)J_n(x_s)-2x_sJ_{n+1}(x_s)\\M(5,7)=(-2n^2+x_s^2+2n)N_n(x_s)-2x_sN_{n+1}(x_s)\\M(5,8)=0\end{array}$$

<Shear stress for θ direction at the inner radius r = b>

$$\begin{array}{l}c(6)=0\\M(6,1)=0\\M(6,2)=2n\lbrack(1-n)J_n(x_c)+x_cJ_{n+1}(x_c)\rbrack,\\M(6,3)=2n\lbrack(1-n)N_n(x_c)+x_cN_{n+1}(x_c)\rbrack\\M(6,4)=x_z\lbrack-2(n+1)J_{n+1}(x_s)+x_sJ_n(x_s)\rbrack\\M(6,5)=x_z\lbrack-2(n+1)N_{n+1}(x_s)+x_sN_n(x_s)\rbrack\\M(6,6)=(-2n^2+x_s^2+2n)J_n(x_s)-2x_sJ_{n+1}(x_s)\\M(6,7)=(-2n^2+x_s^2+2n)N_n(x_s)-2x_sN_{n+1}(x_s)\\M(6,8)=0\end{array}$$

<Shear stress for z direction at the outer radius r = a>

$$\begin{array}{l}c(7)=0\\M(7,1)=0\\M(7,2)=2x_z\lbrack nJ_n(x_c)-x_cJ_{n+1}(x_c)\rbrack,\\M(7,3)=2x_z\lbrack nN_n(x_c)-x_cN_{n+1}(x_c)\rbrack\\M(7,4)=(x_s^2+x_z^2)J_{n+1}(x_s)-nx_sJ_n(x_s)\\M(7,5)=(x_s^2+x_z^2)N_{n+1}(x_s)-nx_sN_n(x_s)\\M(7,6)=x_znJ_n(x_s),\;M(7,7)=x_znN_n(x_s),\;M(7,8)=0\end{array}$$

<Shear stress for z direction at the inner radius r = b>

$$\begin{array}{l}c(8)=0\\M(8,1)=0\\M(8,2)=2x_z\lbrack nJ_n(x_c)-x_cJ_{n+1}(x_c)\rbrack,\\M(8,3)=2x_z\lbrack nN_n(x_c)-x_cN_{n+1}(x_c)\rbrack\\M(8,4)=(x_s^2+x_z^2)J_{n+1}(x_s)-nx_sJ_n(x_s)\\M(8,5)=(x_s^2+x_z^2)N_{n+1}(x_s)-nx_sN_n(x_s)\\M(8,6)=x_znJ_n(x_s),\;M(8,7)=x_znN_n(x_s),\;M(8,8)=0\end{array}$$

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